Untuk bahan kristal yang mengandung atom magnetik, struktur magnetiknya terkendala oleh simetri dari struktur kristalnya. Karenanya struktur magnetik yang mungkin muncul untuk sistem kristal tertentu sangat tergantung dari simetri kristal yang ada. Tambahan lagi, vektor propagasi magnetik (jika dianggap struktur magnetik sebagai gelombang) akan juga menentukan struktur magnetik tersebut. Jadi, struktur magnetik tersebut tergantung dari posisi atom magnetik dan juga vektor propagasi magnetik. Tinjauan simetri semacam ini mengandung tahapan yang sangat rinci (tidak seperti pada umumnya analisis eksperimen makroskopik) dan membutuhkan kesabaran jika ingin mengerjakan semuanya sendiri (tanpa bantuan software). Tidak banyak yang tertarik untuk itu, tapi sekali pernah mengalaminya, maka pemahaman mengenai teori grup akan meningkat beberapa tingkat (dibandingkan dengan pemahaman yang diperoleh hanya dengan menggunakan software jadi).
Jadi ada beberapa jalur (route) untuk aplikasi teori grup tersebut dalam menentukan struktur magnetik yang mungkin muncul untuk atom magnetik dalam suatu kedudukan simetri kristal dan vektor propagasi magnetik tertentu. Jalur pertama adalah jalur pintas: gunakan saja software jadi semacam basirep atau sarah. Jalur kedua adalah jalur setengah susah: gunakan tabel irreducible (coset irreducible) representation yang tersedia dari handbook Kovalev atau sejenisnya. Jalur ketiga adalah jalur pemahaman utuh: buat sendiri irreducible representation nya (bisa secara analitik atau numerik) lalu gunakan representasi tersebut untuk menghasilkan struktur magnetik terkait.
Nah, sekarang bagian mana yang perlu kita diskusikan ? Seperti biasa, kalau tak ada pertanyaan maka tak ada lanjutan.
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
56 comments:
to the point saja,maaf kalau agk banyak.
Stlh saya baca notes miliki Dr.A.Wills (UCL) mengenai rep.theory of magn.structure, cukup tertarik juga,tp di lain pihak saya tak mengerti ttg irrep.representaion itu sendiri. Stuju sih,seandainya saya lgsg pakai SARAh utk refine pst bisa dapet,pertanyaan saya skrg sih cuma mau tahu darimana asalnya.
Kasus contohnya spacegroup kristal R-3m,memiliki 12 operator simetri (g1...g12).Kemudian dari situ ditentukan IrRep-nya,darimana ya dapat nilai gamma1 utk g1=2,utk g2=1 dst.. lalu darimana bisa tahu kalau suatu IrRep satu dimensi atau dua dimensi dan apa maksudnya?apa dari tabel kovalev ya,tabel itu ada dimana ya hehe cari di internet tampaknya tak ada.
Apa saya perlu baca buku teori grup dulu ya?saya sdh download beberapa,tp msh agak ragu utk mulai baca.
Sekian dulu. Terima kasih sebelumnya
oh iya,satu lagi..utk tahu magnetic prop vector (indexing hkl puncak magnetiknya),cukup di-refine dgn metode profile fitting (Le Bail)ya Pak?saya liat dari tutorial J.Rodriguez-carvajal (si pembuat FULLPROF) seperti itu,tp belum saya coba juga sih.
Mengenai pertanyaan diatas,sudah bbrp yg terjawab,saya td nemu paper milik Bertaut berjudul MAGNETIC STRUCTURE ANALYSIS AND GROUP THEORY,tampaknya si Andrew Wills mengutip darisana juga gituh,sedang saya coba baca2 juga.
Terima kasih sebelumnya
Arah anda sudah benar. Dulu saya juga belajar sendiri dari makalah Bertaut tersebut (supervisor saya di Los Alamos National Laboratory, Amerika, "hanya" memakai Shubnikov magnetic space group analysis). Saya belajar pula dari makalahnya Rossat Mignod. Yang jelas, ilmuwan dari Perancis memang handal menggunakan teori grup untuk magnetik structure. Tapi ternyata, ilmuwan Rusia sudah lebih dulu menggunakannya.
Nanti kalau sudah "matang" irreducible representation nya, silahkan masuk ke co-irreducible representation.
apaan lagi itu co-irreducible representation?ini saja saya sdh setengah mate,masih byk juga tahapnya hehe..
Sbnrnya saya kmrn kepikiran saja. saya kmrn membaca beberapa paper miliki supervisor saya (*dikirimkan*,krn saya belum berangkat hehe),kok cara analisa beliau berbeda dgn *misalkan* paper milik Bpk dahulu. Kalau pny Bapak, knp Bapak hrs menghitung panjang spt itu utk mencari basis vector hehe. sedangkan supervisor saya,hanya merefine,di beberapa papernya menggunakan SARAh,tp tidak menampilkan hitung2an panjang spt Bapak. Saya juga melihat di beberapa paper beliau, kok dgn tidak menyebutkan representation analysis, kok bisa me-refine,dan dapat strukturnya (misalkan arah momen suatu atom magn. menyimpang 22drajat dr sumbu z[yg spt ini disebut struktur magnetik ato tidak ya??]). Itu bagaimana bisa spt itu ya Pak?apa memang bisa tanpa mencari basis vector dulu hehe saya jadi agak bingung dan rancu nih.
Supaya saya tak salah komentar, tolong emailkan artikel yang anda sebut lewat japri.
Sementara ini, saya bisa berkomentar berikut ini. Saya pun cenderung publikasi di jurnal ilmiah internasional dengan cara serupa. Artinya, rincian hitung2an tidak ditulis (apalagi misalnya dalam Phys Rev B). Outline nya kurang lebih begini (setelah pendahuluan dan metoda)
1) tampilkan kontribusi magnetik dalam data mentah
2) tampilkan struktur magnetik yang mungkin (diperoleh dengan software Sarah)
3) refinement sehingga diperoleh salah satu model lebih fit dari yang lain
4) diskusi
5) kesimpulan
Jaman dulu (15 tahunan silam), belum ada Sarah atau Basirep (atau saya tak "aware" karena tak pakai FullProf) dan GSAS berkemampuan lebih terbatas, maka saya menggunakan "paper and pencil" untuk menurunkannya. Tapi, walaupun banyak prosedur untuk menurunkannya, saya tak menampilkan tahapan tersebut dalam publikasi. Cukup tampilkan struktur magnetik yang mungkin untuk sistem kristal dan magnetik wave propagation vektor k sesuai dengan data. Sayangnya sampai sekarang, di BATAN, tak ada sampel magnetik berkualitas (single phase), yang sesuai untuk analisis semacam itu.
Mungkin timbul pertanyaan, sudah ada softwarenya, ngapain susah-susah nurunin sendiri ? Cari perkara ya ? Saya nggak mau debat kusir soal begini. Tapi yang jelas, kalau anda tau apa yang terjadi dalam software, anda akan mempunyai pemahaman yang lebih dibandingkan mereka2 yang hanya menggunakannya. Setahu saya, kalau di universitas, alatnya juga tidak terpaku pada neutron scattering. Kalau tak salah, calon supervisor anda juga menggunakan NMR. Teori grup dapat pula digunakan untuk analisis data NMR pada bahan kristal. Belum lagi adanya kemungkinan bahwa anda mungkin akan masuk ke hamburan neutron inelastik pada kristal magnetik. Teori grup sangat berperan untuk secara sistematik menganalisis data inelastik (tapi saya belum punya pengalaman disitu). Intinya: selama ada simetri, teori grup merupakan aji pamungkas untuk analisis datanya. Tentu saja anda boleh tebak-tebak manggis untuk analisisnya ........ tapi itukan tak sistematik dan experimental artifacts akan mengacaukan hasil analisisnya.
Omong-omong, analisis struktur magnetik untuk bahan kristal memang tak harus pakai aji pamungkas. Bisa tebak2 manggis, lalu tulis artikel yang bahasanya jelas lalu publish. Banyak kok yang melakukan begitu. Tapi menurut saya, kualitas artikel semacam itu tidak baik. 15 tahun lalu (waktu saya masih sekolah), sangat jarang neutron diffractionist di Amerika utara yang menggunakan teori grup. Ada yang memakai analisis simetri seperti magnetic Shubnikov space group (seperti mantan supervisor saya). Tapi analisis itu mempunyai kelemahan dibanding dengan teori grup. Pilihan ditangan anda (atau anda bisa ikut supervisor).
Menyimpang 22 derajat dari sumbu z ? Itu termasuk yang perlu diklarifikasi dengan teori grup. Kalau model yang diturunkan dengan teori grup memang memungkinkan hal itu, maka saya bisa terima. Kalau tidak, maka itu mungkin hasil dari experimental artifact. Kita perlu sadari bahwa hasil dari refinement kan tergantung dari model yang kita pilih (model dalam hal ini adalah struktur magnetik yang mungkin muncul untuk struktur kristal dan k berdasarkan data). Kalau model nya bebas, maka kita akan kesulitan meng exclude experimental artifact. Diskusinya pun jadi kemana-mana, padahal struktur magnetiknya kan dibatas oleh simetri yang ada pada kristalnya.
co-irreducible representation jadi penting kalau k tidak berada pada dinding Brillouin zone dan sistem kristalnya ada simetri inversi. Misalnya, nilai k kurang dari setengah. Pada kasus tersebut, k bernilai negatif tidak ekuivalen dengan k bernilai positif. Nanti aja deh membahas mengenai ini (setelah matang irreducible representation nya dan anda masih tertarik).
Keep asking questions .........
O ya, kalau sudah berhasil menghilangkan experimental artifact (misalnya dengan experimen yang lebih teliti dengan menggunakan polarized neutron atau di cross check dengan experimen lain), tapi masih juga secara konsisten menghasilkan model yang tidak sesuai dengan teori grup, maka ada kemungkinan terjadi symmetry breaking. Hasil semacam itu menjadi menarik untuk di tindak lanjuti apakah symmetry breaking di struktur magnetik bisa mendistorsi struktur kristalnya.
Kalau belum ada klarifikasi penghilangan experimental artifact dan model terkait tidak dari teori grup, saya cenderung hanya meletakkan off 20 derajat dari sumbu z tersebut dalam diskusi. Kesimpulan tetap didasarkan pada model yang berasal dari teori grup. Itu kalau saya lho, tapi orang lain bisa saja lain (dengan pertimbangannya masing-masing).
**Agak menyimpang dari yg atas***
eiya,saya sbnrnya masih bingung (utk saat ini). Bagaimana cara menentukan jumlah IrRep (gamma) suatu IrRep magnetik ya?Ni saya baca ada kasus spacegrup Ama2,k=(0,0,0),posisi atom X1=(0,0,0) dan X2=(0.5,0.5,0.5),operator simetri spacegroup ada 4:g1,..g4. Disini ada proses penurunan cukup jelas,tp tiba2 ada "tabel IrRep for Gk are:"
-gamma ada 4 (masing2 gamma memiliki nilai utk g1,..g4) dan nilainya 1 atau -1. Itu dapat darimana saya ngga tahu Pak,bisa kasi penjelasan sedikit atau tidak ya Pak?Mengapa muncul gamma1-4,dan semuanya satu dimensi?dan gimana menentukan apakah nilainya 1 atau -1. Saya baca dari papernya Bertaut malah tambah ngga mudeng,edan...
Terima kasih sblmnya
Wah seru kan ... teori grup. Sekali lagi anda sudah pada jalur yang benar: jadi tenang saja.... Dulu saya panik setelah dapat data dari 10 sample, analisis suruh belajar sendiri ...just keep asking questions....
Saya lupa taruh file artikel Bertaut tersebut. Supaya tidak buang waktu, tolong dong emailkan artikel Bertaut yang anda tanya tersebut lewat japri.
Hubungan yang anda perlukan untuk mengetahui banyaknya irrep adalah jumlah dari dimensi dikuadratkan untuk semua irrep adalah sama dengan order dari grup. Order dari grup adalah jumlah elemen simetri kristalnya. Kalau ditulis rumusnya dalam LaTeX: \sum_{\mu} n_{\mu}^2 = g, dengan g adalah order dari grup dan \mu merupakan indeks dari irrep ke \mu.
wahh dapet 10 data tanpa punya dasar analisa haha repot juga ya Pak..
itu fungsi karakter of permutation representation (chi-perm) bukan untuk menandakan jumlah dari irrep yg mungkin ya Pak hehe saya jadi nebak2 buah manggis begini. Di kasus Ama2,total chi-perm utk semua operator simetri dan posisi atom ada 4 jadi irrepnya ada 4,kasus R-3m, total chi-perm ada 12(6 positif dan 6 negatif),jadi irrep.nya ada 6. Apa benar ya Pak?maaf kalau tebak2 gitu.Penasaran tp kekurangan sumber,jadi gini...weleh...
Berikut ini adalah komentar terkait dengan munculnya irrep di halaman 23 dari artikel Wills.
Dari perhitungan sebelumnya diketahui bahwa irrep (Gamma saya singkat saja g) g1, g2, g3 dan g4 masing-masing muncul 1, 1, 2, 2 kali dalam reducible representation yang dimensi nya 6x6. Catatan, munculnya 6x6 itu adalah karena ada 3 atom dan masing2 atom mempunyai 3 sumbu, sehingga total ada 6 derajat kebebasan. Nah, supaya pas 6x6, maka mau tak mau dimensi dari masing-masing irrep harus 1x1.
Jadi ada 4 irrep dengan dimensi masing-masing 1x1. Urusannya jadi lebih mudah daripada yang ada dalam artikelnya Bertaut (yang dimensinya kalau tak salah 2x2). Jadi langsung aja aplikasikan ortogonalitas untuk irrep (identik dengan ortogonalitas untuk karakter karena dimensi 1x1). Dapet deh irrep di halaman 23 tersebut.
Catatan: Aplikasi ortogonalitas tersebut adalah (untuk g1 dan g2)
1x1 + 1x1 + 1x(-1) + 1x(-1) = 0
dst.
Intinya kalau untuk gi dan gj dimana i tak sama dengan j maka hasilnya adalah 0. Kalau i=j, hasilnya adalah order of the group (= jumlah elemen simetri).
Wah sorry, dalam komentar sebelum ini, saya menggunakan simbol yang mungkin malah membingungkan. Ok, saya tak singkat Gamma tersebut. Ortogonalitas untuk karakter chi (identik untuk irrep karena irreonya 1x1) sebagai:
sum (chi^i(S))^* chi^j(S) = h delta_{ij}
Detailnya adalah sebagai berikut. Irrep Gamma1 paling mudah. Pilih aja 1 untuk semua S: 1, 1, 1, 1, 1. Untuk Gamma2, pilih 1, 1, -1, -1. Aturan ortogonalitasnya ok kan ? (kalau tak jelas tolong kabari). Bagaimana kalau pilih 1, -1, 1, -1 .........boleh aja karena ortogonalitas tak terlanggar (nama tak penting: dalam artikel Wills, disebut sebagai Gamma4).
Wah sorry, dalam komentar sebelum ini, saya menggunakan simbol yang mungkin malah membingungkan. Ok, saya tak singkat Gamma tersebut. Ortogonalitas untuk karakter chi (identik untuk irrep karena irreonya 1x1) sebagai:
sum (chi^i(S))^* chi^j(S) = h delta_{ij}
Detailnya adalah sebagai berikut. Irrep Gamma1 paling mudah. Pilih aja 1 untuk semua S: 1, 1, 1, 1, 1. Untuk Gamma2, pilih 1, 1, -1, -1. Aturan ortogonalitasnya ok kan ? (kalau tak jelas tolong kabari). Bagaimana kalau pilih 1, -1, 1, -1 .........boleh aja karena ortogonalitas tak terlanggar (nama tak penting: dalam artikel Wills, disebut sebagai Gamma4).
Contoh R -3 m yang anda tanyakan itu ada dalam artikel yang mana ya ?
Banyaknya irrep dan berapa kali suatu irrep muncul dalam reducible representation ditentukan dengan rumus (63) di halaman 23 dengan contoh penerapan pada halaman berikutnya.
Reducible representation sebenarnya adalah matriks transformasi simetri yang ditranspose. Kalau ada 2 atom per sel satuan dalam 1 site symmetry, maka ukuran reducible representation adalah 6x6. Catatan 1 atom membutuhkan matriks 3x3. Karena 1 atom tersebut memerlukan matriks operasi simetri identitas terkait dengan sumbu x, y, z. 2 atom membutuhkan 6x6 (karena di direct product kan) dst. Reducible representation inilah yang dibuat irreducible, supaya perhitungannya bisa block diagonal sehingga tidak terjadi saling silang sehingga memungkinkan diperolehnya vektor basis.
Hmmm lalu muncul gamma1 s/d gamma4 itu darimana asalnya ya Pak?kalau derajat kebebasan 6 dgn masing2 irrep punya dimensi 1x1 kan ada kemungkinan irrepnya ada 6 bukan 4:gamma1 s/d gamma6 dgn masing2 gamma muncul 1kali,atau tak bisa gitu ya.
Berarti nilai 1 atau -1 itu muncul dari syarat ortogonalitas antara dua operator simetri saja ya?tp pengaruh apa tidak kalau tidak urut?ngga ngaruh ya..
yg contoh R-3m ada contoh lagi dari si A.Wills,notes yg berbeda..nanti saya emailkan deh pak,atau tersedia juga di situs beliau:
http://www.chem.ucl.ac.uk/people/wills/magnetic_structures/magnetic_structures_tutorials.html
di notes: Notes- A tour through magnetic structures, their diffraction patterns and the Bloch wave formalism
Berikut adalah jawaban untuk alinea pertama......loh, kan dari perhitungan n (banyaknya irrep yang muncul) setelah halaman 23 tertera bahwa Gamma1, Gamma2, Gamma3 dan Gamma4 masing-masing muncul sekali, sekali, dua kali dan dua kali. Jadi 1 + 1 + 2 + 2 kan 6 ? Setuju ? sama kan dengan derajat kebebasannya ?
Untuk alinea kedua: yak tul, 1 dan -1 cuma dilihat ortogonalitas. Urutan ngga ngaruh. Nama Gamma juga ngga ngaruh.
Untuk alinea ketiga: ok saya download sendiri. Tapi kok ndak ada tuh R -3 m ?
iya tp persamaan di hlm 23 itu kan utk menghitung jumlah tiap2 gamma. Persamaan itu kan butuh nilai karakter irrep yang diperoleh dari tabel atasnya, betul ndak Pak?nilai karakter irrep yg dipakai tentu akan beda kalau jml irrep di suatu Gk ada 6 (bukan 4). Pertanyaan sebenarnya,darimana saya bisa tahu: this gamma-mag can be composed into 4 irrep,not 6 or less or more?
Kemunculan 1kali,2kali irrep2 tsb kan setelah kita tahu bahwa gamma-mag bisa dipecah mjd sejumlah irrep,betul tidak Pak?
Saya lihat di kasus R-3m dgn 12 operator simetri, gamma-mag terdiri dari 6 irrep,4irrep pertama 1dimensi,sedangkan gamma5 dan gamma6 2 dimensi, kenapa tak 12 irrep yg digunakan?saya bingung itu Pak?
klo mengenai gamma yg tak urut saya dah ngerti,karena toh,hasil basis vektornya yg akan dipakai dalam refinement,bukan gamma.nya hehe..
Skalian,,kalau momen yg menyimpang misalkan sebesar theta dr sumbu z,berarti kita melihatnya dari basis vektornya ya Pak?misalkan (210) gitu?
Mmmm apa jumlah irrep harus sama dengan jumlah operator simetrinya?kasus ini kan jml operator simetrinya ada 4,agar dapat dihitung pake persamaan di hlm 23,mau tak mau irrepnya juga 4 hehe (tebak2..)
Saya ngga ngerti maksud Bpk,dari persamaan (63) bisa tau jumlah irrep yg akan muncul dari suatu reducible representation,welehh bingung juga..tp itung2an stlhnya utk dapet basis vektor mudah,cuman ini saja sih yg buat saya bingung
owh2 saya ngerti,knp jumlah irrepnya 4,kalau jumlah irrepnya 6 sedangkan operator simetri berjumlah 4,maka ada irrep yg tidak saling ortogonal,sementara kalau jumlah irrepnya 4, tiap irrep bisa ortogonal dgn irrep lainnya hehe (coba2 berhadiah lagi..)betul atau salah tu..
Untuk komen diatas,maksud saya knp reducible rep.nya menjadi 4 irrep,tidak menjadi 6irrep atau krg dari 4,pertanyaan saya sih sebenarnya cuma itu. Sudah saya coba jawab sesuai di otak saya saja.
jml irrep ada 6 saya sdh mengerti-->krn ikut derajat kebebasannya.
*ni komen banyak ngga dianggap spam ya Pak hehe*
Untuk komen diatas,maksud saya knp reducible rep.nya menjadi 4 irrep,tidak menjadi 6irrep atau krg dari 4,pertanyaan saya sih sebenarnya cuma itu. Sudah saya coba jawab sesuai di otak saya saja.
jml irrep ada 6 saya sdh mengerti-->krn ikut derajat kebebasannya.
*ni komen banyak ngga dianggap spam ya Pak hehe*
Sorry, untuk menjawab pertanyaan anda, iya emang membingungkan kalau langsung ngitung banyaknya kemunculan irrep dalam rep. Lebih enak diawali dengan artikel Bertaut, yang memeriksa dulu apakah representasinya (Pers. 59-62) commute atau gak. Misalnya R1 x R2 sama gak dengan R2 x R1. Lakukan hal serupa untuk lainnya. Pasti commute karena representasinya merupakan matriks diagonal. Karena commute, maka pasti irrepnya adalah matriks 1x1.
Setelah tahu irrepnya 1x1 dan juga tahu bahwa derajat kebebasannya 6, gunakan hubungan bahwa jumlah dimensi dikuadratkan untuk semua irrep adalah sama dengan order dari grup: sum_i n_i^2 =h, dengan h adalah order dari grup dan n_i adalah dimensi dari irrep ke i. Dari sini diketahui bahwa irrepnya memang 4 (no more no less), karena 1+1+1+1=4.
Baru setelah ini lah Pers. 64-67 relevan (untuk checking saja) untuk mengetahui dekomposisi dari representasi ke irrepnya: artinya berapa kali kemunculan masing-masing irrep dalam representasinya. Perhatikan bahwa untuk Pers.64-67, irrepnya harus sudah diperoleh terlebih dahulu.
Oya komentar saya sebelum ini masih belum masuk ke R-3m loh (saya belum nemu halaman yang mana, walaupun sudah download.... )
Jangan kuatir dianggap spam.... keep asking questions.
O ya, persamaan yang saya sebut dalam 2 komentar terakhir masih persamaan dalam artikelnya pak Wills. Saya menyinggung artikel Bertaut karena seingat saya beliau menuliskan hubungan komutatif tersebut terutama dalam contoh yang irrepnya 2x2. Tapi saya lupa artikel yang mana itu.
ohh begitu,jadi cara paling mudah utk mencarinya seperti itu,cek matriks rotasinya,commute ato tidak ,dan kalau saling commute dimensi irrepnya 1x1..(kalau hasilnya tak commute bagaimana?)oke2 itu saya paham
Lalu mengenai nilai irrep utk tiap operator simetri (yg 1 atau -1 itu).Kmrn diasumsikan urutan tak pengaruh asal saling ortogonal, tp apa kalau gitu ngga pengaruh pada perhitungan basis vektornya Pak?
hehe tampaknya salah artikel,saya kirim via email saja Pak yg ada R-3m
Kalau urutan irrep diubah, tentu urutan vektor basis yang dihasilkan dari operasi projeksi juga berubah sesuai dengan urutan irrepnya.
owhh gitu,oke utk contoh yg Ama2 ini saya sdh mengerti,mau coba yg irrep 2x2..ada contoh?hehe atau pake R-3m saja ya,tp irrepnya ada yg kompleks,susah juga.
Kalau irrepnya ada yg 2x2 spt kasus R-3m itu,cara menentukan banyak irrep dari rep sama seperti cara yg kmrn Pak?
Terima kasih sblmnya.
owh2...
ternyata ada aturan dan penurunannya utk bisa menentukan berapa banyak irrep dalam suatu rep Pak,dan berapa dimensinya..saya baca di papernya Pak Wills,beliau mengacu ke Zak's induction procedure utk mengetahui berapa jumlah irrep yang mungkin. Ada pembahasannya di buku mathematical theory of symmetry in solids. Tapi susah bukunya huahhh payah dah (suram juga hehe..)
lebih baik jangan cari irrep yang kompleks dulu. Cari saja yang irrepnya 2x2 dulu (dan tak kompleks). Kalau tak salah di artikelnya Bertaut ada yang Pbnm (ortorombik). R-3 m nanti ditunda sebentar, karena kompleks irrepnya dan juga rhombohedral sistem kristalnya (derajat kesulitannya naik karena sumbu2 nya tidak semuanya saling tegak lurus).
Wah kalau pake induced representation dan subduced representation, saya masih perlu belajar juga.........kelihatannya penentuan irrep nya kalau pake itu sih elegan, tapi saya susah juga mencernanya (terlalu matematis).
Ada juga yang pake Herring's method -> elegan, singkat tapi saya juga masih belum mudeng. Kalau anda sempat memahaminya, nanti ajarkan ke saya ya ?
Saya dapet beberapa teorema dari buku yg saya sebutkan diatas,gmana komentar Bpk.
- A representation is irreducible if, and only if, the only matrices which commute with all matrices of the representation are scalar multiples of the unit
matrix.
- The number of reps = the number of classes = r
- A group G splits into 'conjugacy classes" C1, C2,..., Cr such that the following properties hold:
(i) every element of G is in some class, and no element of G is in more than one
class, so that G = C1 + C2 + • • • + Cr,
(ii) all the elements in a given class are mutually conjugate and consequently have
the same order {though, of course, not all elements of the same order necessarily
belong to the same class),
(iii) an element that commutes with all elements of the group is in a class by itself
and is called a' self-conjugate' element {the identity is always in a class by itself,
and, further, if G is Abelian then every element of G is in a class by itself),
(iv) the number of elements in a class is a divisor of the order of the group,
-\sum_{\r} n_{\r}^2 = g-->utk mencari dimensi msg2 irrep kalau sudah dapet r (dari teorema no.2)
kalau pake yg terlalu matematis saya juga kurang begitu mudeng Pak hehe tp nnt saya coba baca2 lagi,menunggu komen Bpk utk yg diatas.
pertanyaan muncul kemudian,bgaimana cara tahu operator simetri yg mana yg masuk grup yg sama?ribet juga...
wah payah nih internet
operator simetri mana yang masuk class tertentu maksudnya ?
Betul, banyaknya irrep adalah sama dengan banyaknya class. Garis besar untuk menentukan simetri mana yang masuk class tertentu adalah sebagai berikut.
Misalkan simetri Tj (bisa T1, T2, dst), Si (bisa S1, S2, dst) yang merupakan anggota grup dengan Si dan Tj bisa saja sama. Lakukan operasi
0) Definiskan class tertentu (anggap saja class Z, misalnya)
1) Si T1 inverse(Si).
2) Periksa apakah hasilnya sudah pernah muncul dalam class itu. Kalau sudah berarti class sudah tertutup, tak mungkin ada anggota lain (coba cek balik)
3) Kalau tidak berarti hasilnya masuk dalam class Z.
4) Lakukan langkah nomor 1 dengan i=1, 2, ... semua anggota dari grup (bukan hanya anggota grup yang dalam class Z saja)
5) Lakukan langkah 2) dan 3)
6) Lakukan untuk T2, T3, dst sampai semua anggota grup
Coba deh lakukan untuk Ama2
tunggu2,saya agak bingung penentuan simbolnya. Misalkan suatu spacegroup pny 4operator simetri. jadi Ti dan Sj merupakan matrix2 dari operator simetri tsb?berarti s1 = T1,ato beda ya?saya masih agak bingung..atau mungkin ini yg disebut all the elements in a given class are mutually conjugate
Lalu cek (no.2),misalkan belum pernah muncul dalam class z, maka yg masuk kelas z itu S1?atau bagaimana ya Pak..
iya saya mau coba buktikan utk yg Ama2 gituh,tp masih bingung penentuannya..yg jelas matriks identitas masuk kelas I..
mutually conjugate maksudnya saling berpasangan. Jadi kalau hubungan {S T inverse(S)} dipakai, maka akan selalu menghasilkan elemen simetri yang berada pada class yang sama.
Tebak: identitas masuk di kelas tersendiri atau berada di semua class ?
Catatan: S dan T adalah simetri dalam group. Kalau hubungan di atas menghasilkan simetri yang itu-itu aja (balik lagi balik lagi), maka dapet deh satu class.
Betul kan Pak matriks simetrinya yg di persamaan (59) s/d(62) notes milik Pak Wills. Jadi misalkan begini,saya misalkan class B,di dalamnya saya coba R2R2(inverse)R2(saya mengacu simetri rotasi dari notes Pak Wills),lalu dicoba lagi R3R2(inverse)R3 lalu R4R2(inverse)R4, saya coba itung,hasilnya R2 semua,berarti R2 masuk kelas tersebut??
Lalu menentukan kelas lain gitu,coba yg R3R3inverse (R3) dst ya,kalau dapetnya R3,berarti R3 itu masuk class baru lagi,ato bagaimana,wah saya agak bingung nih hehe..
identitas masuk kelas sendiri Pak (ada di teorema yg saya kutip) krn dia commute dgn semua operator simetri grup he betul tidak tuh alasannya
Betul.
R1 (yaitu identitas) masuk ke satu class sendiri karena:
R1 R1 inverse(R1) = R1
R2 R1 inverse(R2) = R1
R3 R1 inverse(R3) = R1
R4 R1 inverse(R4) = R1
Ruas kanan ternyata menghasilkan itu2 aja, yaitu R1 maka R1 berada dalam 1 class sendirian aja.
Untuk R2, lakukan hal serupa:
R1 R2 inverse(R1) = R2
R2 R2 inverse(R2) = R2
R3 R2 inverse(R3) = R2
R4 R2 inverse(R4) = R2
Maka R2 membentuk class tersendiri
Silahkan lakukan hal serupa untuk R3 dan R4. Apakah R3 dan R4 masing-masing membentuk class sendiri sendiri ?
Ada trick lain kalau ingin menghindari perhitungan inverse: lihat website
http://mathworld.wolfram.com/ConjugacyClass.html
oke sdh saya coba
R1R3 inv(R1)=R3
R2R3 inv(R2)=R3
R3R3 inv(R3)=R3
R4R3 inv(R4)=R3
dan
R1R4 inv(R1)=R4
R2R4 inv(R2)=R4
R3R4 inv(R3)=R4
R4R4 inv(R4)=R4
jadi disimpulkan terbentuk 4 class,dgn tiap class memiliki 1 operator simetri ya
Nah bagaimana kalau misalkan ada class yg memiliki lebih dari satu operator simetri,kriteria yg menentukannya bagaimana Pak?kalau dilihat dari perhitungan spt diatas.
oiya Pak,saya lagi coba2 yg CuF (examples dari fullprof). CuF memiliki spacegroup P21/n, operator simetrinya ada 2:
(x y z)
(-x+1/2 y+1/2 -z+1/2)
prop.vector k = (0.5 0 0.5), atom Cu terletak di X = (0 0 0).
Nah langkah pertama kan cek apakah operator simetri spacergroup menyebabkan k invarian ato tidak (utk mencari little group gk).tnyata hanya simetri identitas saja yg tidak mengubah k,simetri satu lg menyebabkan k tdk invarian (dalam hal ini kR=-k), berarti dalam hal ini gk hanya 1 ya Pak?dan yang dipakai dalam perhitungan berikutnya hanya matrix identitas saja donk..
Untuk k di dinding Brillouin zone (yaitu yang harganya setengahan, seperti di contoh itu), maka k=-k (kenapa hayoooo ?). Berarti k ekuivalen dengan -k. Jadi kedua simetri itu leave k invariant.
owh begitu ya,berarti simetri keduanya yg dipakai,sip2 saya coba. Utk alasan k=-k he saya krg tau,tp kan itu sama2 di dinding BZ-nya,yaitu dari -1/2 sampai 1/2, tp tak tau knp sama..
Oiya mengenai pertanyaan saya sblmnya,yg bagaimana kalau ada class yg memiliki anggota lbh dari 1 operator simetri,kriterianya spt apa ya Pak?kalau di-cek dgn cara RiRj inverse(Ri) itu
selisih k=-1/2 dengan k=1/2 adalah 1 crystallographic unit cell (dalam kisi balik loh). Sedangkan definisi dari sel satuan kristal adalah sel terkecil yang berulang secara periodik (i.e.; jarak antara satu sel satuan ke sel satuan berikutnya adalah 1 sel satuan). Maka k=-1/2 bisa di geser kekanan sebesar 1 sel satuan kisi balik sebesar satu sel satuan sehingga menjadi k=1/2.
Coba tentukan irrep untuk space group Pnma dengan posisi atom di (x, 1/4, z), (-x+1/2, 3/4, z+1/2), (-x, 3/4, -z), (x+1/2, 1/4, -z+1/2) dengan k=(0, 1/2, 1/2). Jika diperlukan, anda bisa mengacu semua simetri yang ada pada Pnma dari
http://www.cryst.ehu.es/
sudah sy coba Pak, simetri dari Pnma ada 8,tp yg leave k invariant hanya 3.
-pertama simetri identitas
-kedua simetri x+1/2,-y+1/2,-z+1/2
-ketiga simetri -x,-y,-z
penentuan class,ternyata
R1R1 inv(R1)=R1
R2R1 inv(R2)=R1
R3R1 inv(R3)=R1
R1R2 inv(R1)=R2
R2R2 inv(R2)=R2
R3R2 inv(R3)=R2
R1R3 inv(R1)=R3
R2R3 inv(R2)=R3
R3R3 inv(R3)=R3
jadi saya simpulkan,ketiga simetri berada dalam masing2 class,shg banyak irrep yg terbentuk ada 3 irrep.
Cek dimensi msg2 irrep dari \sum_{\r} n_{\r}^2 = gk,ternyata masing2 hanya 1x1
betul tidak Pak?
tadi saya sampe mencari chi-perm, bingung sendiri saya..sbenarnya utk menghitung vektor basis (misalkan dari step tabel 7,hlm.63 artikelnya pak Wills),itu yg digunakan hanya gk ya Pak,bukan simetri dari spacegroup?
wahh saya salah itung hehe ada 4irrepnya,yg satu lagi dari simetri:
-x+1/2,y+1/2,z+1/2
(saya sering tak teliti gini,payah..), saya cek lagi:
R1R1 inv(R1)=R1
R2R1 inv(R2)=R1
R3R1 inv(R3)=R1
R4R1 inv(R4)=R1
R1R2 inv(R1)=R2
R2R2 inv(R2)=R2
R3R2 inv(R3)=R2
R4R2 inv(R4)=R2
R1R3 inv(R1)=R3
R2R3 inv(R2)=R3
R3R3 inv(R3)=R3
R4R3 inv(R4)=R3
R1R4 inv(R1)=R4
R2R4 inv(R2)=R4
R3R4 inv(R3)=R4
R4R4 inv(R4)=R4
maka irrepnya ada 4!!!!
dimensinya juga 1x1..
hehe maap salah itung,ni saya ngitung chi-perm juga pasti ada yg slh deh,weleh..
ni saya itung lagi,jadi gamma-mag:
gamma-mag = 6gamma2 + 6gamma4
acuannya:
gamma 1 = 1 1 1 1
gamma 2 = 1 1 -1 -1
gamma 3 = 1 -1 1 -1
gamma 4 = 1 -1 -1 1
hehe betul tidak Pak?
kalo betul saya coba itung vektor basisnya..
Saya perlu tau R1, R2, R3, ... yang anda peroleh .....
R1,..R4 kan hanya matriks rotasi dari operator simetrinya Pak, nulisnya dsini bagaimana ya,saya tulis diagonalnya saja (krn memang matriks diagonal semua)
1. matriks identitas,R1
2. R2 diagonalnya (1 -1 -1)
3. R3 diagonalnya (-1 -1 -1)
4. R4 diagonalnya (-1 1 1)
Sebenernya, matriks tersebut harus mengaitkan atom 1 dengan lainnya. Saya emailkan artikel Bertaut yang sesuai untuk itu (saya tak tahu apa anda sudah punya atau belum).
oke saya baca dulu,tapi ini contohnya Pbnm, sama ya Pak dgn Pnma...jawaban saya sih pake cara yg ada di artikel Pak Wills he ternyata kurang benar ya Pak
Ya, Pbnm = Pnma yang parameter kisi a, b, c nya di pertukarkan
Nampaknya susah menentukan anggota dari conjugate class ya ? Kalau mau "brute force", perlu pemrograman untuk mengalikan dan mencari inverse matriks 12x12 (kasus Pnma yang di post terdahulu). Proses perkalian yang diperlukan bisa lebih dari 64 kali. Mungkin anda bisa cari short cut untuk menyederhanakan perkalian matriksnya. Tapi, sebenarnya, kalau sekedar ingin tahu berapa banyaknya irrep (yang sama dengan banyaknya class), anda tak perlu cari anggota class.
maap Pak,kmrn saya packing,terus tak enak badan begini (padahal hari rabu saya berangkat),belum saya coba hitung,tp sebenarnya cara yg dari artikel Pak Wills sudah benar belum?saya kok lebih agak mudeng ya daripada punya Bertaut hehe..
Badan memang harus fit untuk berangkat rabu ke Canada (24 jam perjalanan + jetleg). Jadi lupakan saja dulu pembahasan teori grupnya (dilanjut nanti kalau sudah fit dari Canada).
Tapi, supaya saya tak lupa, saya tulis saja komentar saya mengenai tulisan pak Wills dan pak Bertaut. Melihat persamaan 59-62 halaman 22-23 file ASW 6, terlihat bahwa Wills menggunakan operasi pasif: artinya operasi simetri di aplikasikan pada sumbu koordinat sementara benda (dalam hal ini adalah atom) tetap. Sebaliknya, Bertaut menggunakan operasi aktif: artinya operasi simetri di aplikasikan pada benda (dalam hal ini adalah atom), sementara sistem koordinat tetap. Kedua cara tersebut identik (tentu arahnya kebalikan). Keuntungan dari cara Wills adalah bahwa reducible matriksnya tidak berukuran nxn dimana n=banyaknya atom x 3. Matriks reducible dengan cara Wills memang berdimensi lebih kecil tapi tetap faithful (apakah faithful istilah yang sesuai untuk ini ?) dengan yang nxn. Dalam waktu dekat, akan saya post tulisan ringkas mengenai operasi simetri pada bangun bujursangkar yang menghasilkan irrep yang sama baik dengan cara operasi aktif maupun pasif.
Kasus Pnma dengan k=(0,1/2,1/2) yang lalu, seharusnya menghasilkan 2 irrep saja yang masing-masing berukuran 2 dimensi. Alasannya adalah karena
1) ordernya adalah 8
2) salah satu representasi reduciblenya tak commute (berarti tak mungkin matrik berukuran 1x1)
3) Hubungan dimensi dengan order menjadi: 2^2 + 2^2 = 8 -> ada 2 suku, berarti ada 2 kelas, berarti ada 2 irrep
Saya dapatnya dengan cara Bertaut: yaitu menggunakan matriks berukuran 12x12 seperti dibahas dalam disertasi S3 yang dapat didownload pada weblog ini. Coba kalau iseng, gunakan operasi pasif sehingga hasilnya identik (or not ?) dengan cara aktif seperti dalam disertasi tersebut.
sorry jetlag (jet lag, jet-lag), bukan jetleg ,,,,,,, masak sih jet punya leg ......
Wah seru juga nih soal jet lag, berikut makanan di airplane:
http://today.msnbc.msn.com/id/18962591/
Post a Comment